Density estimates for a variational model driven by the Gagliardo norm

We prove density estimates for level sets of minimizers of the energyε2s‖u‖Hs(Ω)2+∫ΩW(u)dx, with s∈(0,1)s∈(0,1), where ‖u‖Hs(Ω)‖u‖Hs(Ω) denotes the total contribution from Ω   in the HsHs norm of u, and W is a double-well potential.As a consequence we obtain, as ε→0+ε→0+, the uniform convergence of the level sets of u   to either an HsHs-nonlocal minimal surface if s∈(0,12), or to a classical minimal surface if s∈[12,1).

RésuméOn démontre des estimations de densité pour les ensembles de niveau des minimiseurs de lʼénergieε2s‖u‖Hs(Ω)2+∫ΩW(u)dx, avec s∈(0,1)s∈(0,1), où ‖u‖Hs(Ω)‖u‖Hs(Ω) est la contribution totale de Ω   dans en HsHs de u, et W est un potentiel à double puits.En conséquence, lorsque ε→0+ε→0+, on obtient la convergence uniforme des ensembles de niveau de u   sur une surface minimale HsHs-non-locale si s∈(0,12), ou sur une surface minimale classique si s∈[12,1).