A dynamical approach to the large-time behavior of solutions to weakly coupled systems of Hamilton–Jacobi equations

We investigate the large-time behavior of the value functions of the optimal control problems on the n-dimensional torus which appear in the dynamic programming for the system whose states are governed by random changes. From the point of view of the study on partial differential equations, it is equivalent to consider viscosity solutions of quasi-monotone weakly coupled systems of Hamilton–Jacobi equations. The large-time behavior of viscosity solutions of this problem has been recently studied by the authors and Camilli, Ley, Loreti, and Nguyen for some special cases, independently, but the general cases remain widely open. We establish a convergence result to asymptotic solutions as time goes to infinity under rather general assumptions by using dynamical properties of value functions.

RésuméOn étudie le comportement en temps grand des fonctions valeur associées aux problèmes de contrôle optimal sur le tore n-dimensionnel qui apparaissent dans le cadre de la programmation dynamique des systèmes dont les états sont gouvernés par des changements aléatoires. Du point de vue de lʼétude des équations aux dérivées partielles, il est équivalent de considérer des solutions de viscosité des systèmes de Hamilton–Jacobi quasi-monotones faiblement couplés. Le comportement en temps grand des solutions de viscosité de ce problème a été récemment étudié par les auteurs, ainsi que par Camilli, Ley, Loreti, et Nguyen pour certains cas particuliers, de façon indépendante, mais les cas généraux restent largement ouverts. On établit un résultat de convergence asymptotique des solutions sous des hypothèses assez générales, en utilisant des propriétés dynamiques des fonctions valeur.