Polynomial convexity, special polynomial polyhedra and the pluricomplex Green function for a compact set in Cn

We prove a version of the Hilbert Lemniscate Theorem in Cn. More precisely, any polynomially convex compact subset K of Cn can be approximated externally by special polynomial polyhedra P defined by proper polynomial mappings from Cn to Cn with “almost” all their zeros in P. We precise this version when K is balanced. And we also give several applications of these results: approximation of the pluricomplex Green function for a compact set with pole at infinity, a Lelong–Bremermann Theorem for functions in L+ and uniform polynomial approximation of holomorphic functions.

RésuméNous montrons une version du théorème de Hilbert sur les lemniscates dans Cn. Plus précisément, tout ensemble compact polynomialement convexe K de Cn est exhausté par des polyèdres polynomiaux spéciaux P définis par des applications polynomiales propres de Cn dans Cn avec « presque » tous leurs zéros dans P. Nous précisons cette version lorsque K est disqué. Et nous donnons aussi plusieurs applications de ces résultats : l'approximation de la fonction de Green pluricomplexe d'un compact avec pôle à l'infini, un théorème de Lelong–Bremermann pour les fonctions dans L+ et l'approximation uniforme des fonctions holomorphes par des polynômes.