Two-scale analysis for very rough thin layers. An explicit characterization of the polarization tensor

We study the behaviour of the steady-state voltage potential in a material composed of a two-dimensional object surrounded by a very rough thin layer and embedded in an ambient medium. The roughness of the layer is described by a quasi ε-periodic function, ε being a small parameter, while the mean thickness of the layer is of magnitude εβ, where β∈(0,1). Using the two-scale analysis, we replace the very rough thin layer by appropriate transmission conditions on the boundary of the object, which lead to an explicit characterization of the polarization tensor as defined in Vogelius and Capdeboscq [Y. Capdeboscq, M.S. Vogelius, A general representation formula for boundary voltage perturbations caused by internal conductivity inhomogeneities of low volume fraction, M2AN Math. Model. Numer. Anal. 37 (2003) 159–173]. The main result of this paper is quite unexpected, and the approximate transmission conditions are not intuitive since they mix in a complex way both conductivities of the exterior medium and of the membrane. This paper extends the previous works of Poignard [C. Poignard, Approximate transmission conditions through a weakly oscillating thin layer, Math. Meth. Appl. Sci. 32 (2009) 435–453] and of Ciuperca et al. [I. Ciuperca, M. Jai, C. Poignard, Approximate transmission conditions through a rough thin layer. The case of periodic roughness, Euro. J. Appl. Math. 21 (2010) 51–75], in which β⩾1.

RésuméDans cet article, on étudie le potentiel électrostatique dans un matériau bidimensionnel composé d'un objet entouré d'une fine membrane rugueuse. La rugosité de cette couche mince est décrite par une fonction quasi-périodique, de périodicité ε, qui est un petit paramètre tendant vers 0. L'épaisseur de la membrane est d'amplitude εβ, avec β∈(0,1). A l'aide d'une analyse double échelle, on remplace la couche fine rugueuse par des conditions de transmission équivalentes et on donne une caractérisation explicite du tenseur de polarisation défini par Vogelius et Capdeboscq [Y. Capdeboscq, M.S. Vogelius, A general representation formula for boundary voltage perturbations caused by internal conductivity inhomogeneities of low volume fraction, M2AN Math. Model. Numer. Anal. 37 (2003) 159–173]. Le résultat principal de cet article est assez inattendu, et les conditons de transmission obtenues sont peu intuitives car elles mélangent de façon complexe les conductivités interne et externe à la membrane. Cet article étend les résultats précédents de Poignard [C. Poignard, Approximate transmission conditions through a weakly oscillating thin layer, Math. Meth. Appl. Sci. 32 (2009) 435–453] et de Ciuperca et al. [I. Ciuperca, M. Jai, C. Poignard, Approximate transmission conditions through a rough thin layer. The case of periodic roughness, Euro. J. Appl. Math. 21 (2010) 51–75], dans lesquels β était supérieur à 1.