Equality of Lifshitz and van Hove exponents on amenable Cayley graphs

We study the low energy asymptotics of periodic and random Laplace operators on Cayley graphs of amenable, finitely generated groups. For the periodic operator the asymptotics is characterised by the van Hove exponent or zeroth Novikov–Shubin invariant. The random model we consider is given in terms of an adjacency Laplacian on site or edge percolation subgraphs of the Cayley graph. The asymptotic behaviour of the spectral distribution is exponential, characterised by the Lifshitz exponent. We show that for the adjacency Laplacian the two invariants/exponents coincide. The result holds also for more general symmetric transition operators. For combinatorial Laplacians one has a different universal behaviour of the low energy asymptotics of the spectral distribution function, which can be actually established on quasi-transitive graphs without an amenability assumption. The latter result holds also for long range bond percolation models.

RésuméNous étudions l'asymptotique spectrale des laplaciens périodiques et aléatoires sur des graphes de Cayley associés à un groupe moyennable de type fini. Pour un opérateur périodique l'asymptotique est caractérisée par l'exposant de van Hove ou l'invariant de Novikov–Shubin d'ordre zéro. Le modèle aléatoire que nous considérons est donné en termes d'opérateur d'adjacence sur un sous-graphe aléatoire d'un graphe de Cayley. Le graphe aléatoire est engendré par un processus sous-critique de percolations par site ou par lien. La fonction de répartition spectrale est exponentiellement décroisante au voisinage de la limite inférieure du spectre. Le comportement exponentiel est caracterisé par l'exposant de Lifshitz. Nous montrons que pour le laplacien d'adjacence les deux exposants coïncident. Les résultats sont vrais pour une classe plus générale d'opérateurs symmétriques. Pour les laplaciens combinatoires on trouve un comportement asymptotique différent de la fonction de répartition spectrale. Cette étude est assez générale et s'applique aussi aux processus souscritiques de percolations sur un graphe quasitransitif moyennable ou non. Le dernier résultat est aussi vrai pour des percolations de type longue portée.