The univalent Bloch–Landau constant, harmonic symmetry and conformal glueing

By modifying a domain first suggested by Ruth Goodman in 1945 and by exploiting the explicit solution by Fedorov of the Pólya–Chebotarev problem in the case of four symmetrically placed points, an improved upper bound for the univalent Bloch–Landau constant is obtained. The domain that leads to this improved bound takes the form of a disk from which some arcs are removed in such a way that the resulting simply connected domain is harmonically symmetric in each arc with respect to the origin. The existence of domains of this type is established using techniques from conformal welding, and some general properties of harmonically symmetric arcs in this setting are established.

RésuméEn modifiant un domaine comme l'a suggéré Ruth Goodman en 1945 et en utilisant la solution explicite de Fédorov du problème de Pòlya–Chebotarev dans le cas de quatre points symétriques, on obtient une meilleure borne supérieure de la constante de Bloch–Landau univalente. Le domaine qui conduit à cette amélioration a la forme d'un disque auquel on a retiré quelques arcs de telle sorte que le domaine restant, simplement connexe, soit harmonique par rapport à l'origine. L'existence de domaines de ce type est établie en utilisant des techniques de soudure conforme ; dans ce contexte on démontre quelques propriétés des arcs symétriques.