Multifractal formalism for self-similar measures with weak separation condition

For any self-similar measure μ on Rd satisfying the weak separation condition, we show that there exists an open ball U0 with μ(U0)>0 such that the distribution of μ, restricted on U0, is controlled by the products of a family of non-negative matrices, and hence μ|U0 satisfies a kind of quasi-product property. Furthermore, the multifractal formalism for μ|U0 is valid on the whole range of dimension spectrum, regardless of whether there are phase transitions. Moreover the dimension spectra of μ and μ|U0 coincide for q⩾0. This result unifies and improves many of the recent works on the multifractal structure of self-similar measures with overlaps.

RésuméOn montre que pour toute mesure autosimilaire sur Rd satisfaisant la condition de séparation faible, il existe une boule U0 telle que μ(U0)>0 ainsi qu'une famille finie F de matrices positives telles que μ|U0, la distribution de μ restreinte à U0, soit contrôlée par des produits d'éléments de F, de sorte que μ|U0 satisfasse une propriété de type quasimultiplicativité. De plus, le formalisme multifractal est valide pour μ|U0 sur tout l'intervalle de définition du spectre des singularités, qu'il y ait ou non des transitions de phases. Enfin, les spectres de singularités de μ et μ|U0 coïncident pour q⩾0. Ces résultats unifient et améliorent un grand nombre de travaux récents portant sur la structure multifractale des mesures autosimilaires avec recouvrements.