Self-similarity in a general aggregation–fragmentation problem. Application to fitness analysis

We consider the linear growth and fragmentation equation:∂∂tu(x,t)+∂∂x(τ(x)u)+β(x)u=2∫x∞β(y)κ(x,y)u(y,t)dy, with general coefficients τ, β and κ. Under suitable conditions (see Doumic Jauffret and Gabriel, 2010 [1]), the first eigenvalue represents the asymptotic growth rate of solutions, also called the fitness or Malthus coefficient in population dynamics. This value is of crucial importance in understanding the long-time behavior of the population. We investigate the dependence of the dominant eigenvalue and the corresponding eigenvector on the transport and fragmentation coefficients. We show how it behaves asymptotically depending on whether transport dominates fragmentation or vice versa. For this purpose we perform a suitable blow-up analysis of the eigenvalue problem in the limit of a small/large growth coefficient (resp. fragmentation coefficient). We exhibit a possible non-monotonic dependence on the parameters, in contrast to what would have been conjectured on the basis of some simple cases.

RésuméOn considère lʼéquation linéaire de croissance et fragmentation suivante :∂∂tu(x,t)+∂∂x(τ(x)u)+β(x)u=2∫x∞β(y)κ(x,y)u(y,t)dy, avec des coefficients τ, β et κ aussi généraux quʼil est possible. Sous certaines hypothèses (cf. Doumic Jauffret et Gabriel, 2010 [1]), la première valeur propre représente le taux de croissance de la solution en régime asymptotique, également appelé paramètre de Malthus ou « fitness » de la population. Sa valeur a une importance fondamentale pour comprendre le comportement en temps long de la population. On étudie ici la façon dont elle dépend des coefficients de transport τ et de fragmentation β. On montre quelle est sa limite selon que cʼest le terme de transport ou bien celui de fragmentation qui est dominant. Dans ce but, on effectue une analyse dʼéclatement pour expolosion du problème aux valeurs propres dans les limites où lʼun de ces deux coefficients tend vers zéro ou vers lʼinfini. On met ainsi en évidence le fait que le coefficient de Malthus peut varier en fonction des paramètres de lʼéquation dʼune façon non monotone, contrairement à une conjecture fondée sur les cas les plus simples. On discute des implications possibles en biologie ou en médecine.