A well-posedness result for hyperbolic operators with Zygmund coefficients

In this paper we prove an energy estimate with no loss of derivatives for a strictly hyperbolic operator with Zygmund continuous second order coefficients both in time and in space. In particular, this estimate implies the well-posedness for the related Cauchy problem. On the one hand, this result is quite surprising, because it allows to consider coefficients which are not Lipschitz continuous in time. On the other hand, it holds true only in the very special case of initial data in H1/2×H−1/2. Paradifferential calculus with parameters is the main ingredient to the proof.

RésuméDans cet article on établit une estimation de lʼénergie sans perte de dérivées pour un opérateur strictement hyperbolique dont les coefficients du deuxième ordre appartiennent à la classe de Zygmund par rapport au temps et à la variable dʼespace. En particulier, cette estimation comporte le caractère bien posé du problème de Cauchy lié à cet opérateur. Dʼun côté, ce résultat est assez étonnant, parce quʼil permet de considérer des coefficients qui ne sont pas lipschitziens dans la variable temporelle. De lʼautre côté, il est valide seulement dans le cas très particulier où les données initiales appartiennent à lʼespace H1/2×H−1/2. Le Calcul Paradifférentiel à paramètre est lʼoutil principal pour la démonstration de ce résultat.