Type III factors with unique Cartan decomposition

We prove that for any free ergodic nonsingular nonamenable action Γ↷(X,μ) of all Γ in a large class of groups including all hyperbolic groups, the associated group measure space von Neumann algebra L∞(X)⋊Γ has L∞(X) as its unique Cartan subalgebra, up to unitary conjugacy. This generalizes the probability measure preserving case that was established in Popa and Vaes (in press) [38]. We also prove primeness and indecomposability results for such crossed products, for the corresponding orbit equivalence relations and for arbitrary amalgamated free products M1⁎BM2 over a subalgebra B of type I.

RésuméOn montre que pour toutes les actions libres, ergodiques, non singulières, non moyennables Γ↷(X,μ) de Γ dans une grande classe de groupes qui inclut tous les groupes hyperboliques, lʼalgèbre de von Neumann produit croisé associée L∞(X)⋊Γ possède L∞(X) comme unique sous-algèbre de Cartan, à conjugaison unitaire près. Ceci généralise le cas où la mesure de probabilités était préservée, établi dans Popa et Vaes (sous presse) [38]. On montre aussi des résultats de primalité et dʼindécomposabilité pour de tels produits croisés, pour les relations dʼéquivalence orbitale correspondantes et pour les produits amalgamés M1⁎BM2 au-dessus dʼune sous-algèbre B de type I.