Local Aronson–Bénilan estimates and entropy formulae for porous medium and fast diffusion equations on manifolds

In this work we derive local gradient and Laplacian estimates of the Aronson–Bénilan and Li–Yau type for positive solutions of porous medium equations posed on Riemannian manifolds with a lower Ricci curvature bound. We also prove similar results for some fast diffusion equations. Inspired by Perelman's work we discover some new entropy formulae for these equations.

RésuméDans cet article nous établissons des bornes locales du type Aronson–Bénilan sur le gradient et le laplacien de la pression, pour des solutions positives d'équations des milieux poreux sur des variétés riemanniennes à courbure de Ricci minorée. Nous obtenons des résultats similaires pour certaines équations de diffusion rapide. Inspirés par le travail de Perelman, nous mettons en évidence de nouvelles formules d'entropie pour ces équations.