Uniformly exponentially stable approximations for a class of damped systems

We consider time semi-discrete approximations of a class of exponentially stable infinite-dimensional systems modeling, for instance, damped vibrations. It has recently been proved that for time semi-discrete systems, due to high frequency spurious components, the exponential decay property may be lost as the time step tends to zero. We prove that adding a suitable numerical viscosity term in the numerical scheme, one obtains approximations that are uniformly exponentially stable. This result is then combined with previous ones on space semi-discretizations to derive similar results on fully-discrete approximation schemes. Our method is mainly based on a decoupling argument of low and high frequencies, the low frequency observability property for time semi-discrete approximations of conservative linear systems and the dissipativity of the numerical viscosity on the high frequency components. Our methods also allow to deal directly with stabilization properties of fully discrete approximation schemes without numerical viscosity, under a suitable CFL type condition on the time and space discretization parameters.

RésuméNous étudions diverses discrétisations en temps de systèmes de dimension infinie intervenant dans la modélisation de systèmes amortis. Récemment, il a été démontré que les systèmes semi-discrétisés en temps peuvent ne pas satisfaire des propriétés de décroissance exponentielle de l'énergie, uniformémement en le pas de temps, à cause de hautes fréquences parasites. Nous démontrons que l'addition d'une viscosité numérique permet de rétablir ces propriétés de décroissance de l'énergie. Notre méthode, combinée avec les résultats existants sur les discrétisations spatiales, nous permet d'étendre notre étude aux cas de schémas numériques totalement discrétisés. Nous nous basons principalement sur un découplage des basses et hautes fréquences, l'observabilité des basses fréquences pour des systèmes discrétisés en temps, et la dissipativité introduite par la viscosité numérique pour les hautes fréquences. Notre méthode s'adapte aussi à l'étude directe de schémas numériques totalement discrétisés, sans viscosité numérique, mais avec une condition CFL sur les paramètres de discrétisation en temps et en espace.