Integral formula for the characteristic Cauchy problem on a curved background

We give a local integral formula, valid on general curved spacetimes, for the characteristic Cauchy problem for the Dirac equation with arbitrary spin. The derivation of the formula is based on the work of Friedlander (1975) [6], for the wave equation. A parametrix for the square of the Dirac operator, which is a spinor wave equation, is built using Friedlander's construction. Deriving the representation formula obtained in function of the characteristic data for this particular wave equation gives an integral formula for the Goursat problem. The results obtained by Penrose (1963) in the flat case in [21] are recovered directly.

RésuméOn donne une formule intégrale pour le problème de Cauchy caractéristique local pour l'équation de Dirac de spin arbitraire sur des espace-temps courbes en utilisant la méthode développée par Friedlander (1975) [6], et adaptée au cas spinoriel. Elle est fondée sur la construction d'une paramétrix pour le carré de l'opérateur de Dirac qui est une équation des ondes spinorielle. Il est alors possible d'obtenir une formule intégrale en fonction des données caractéristiques des solutions du problème de Goursat en dérivant la formule de représentation obtenue à l'aide de la paramétrix. On retrouve alors directement le résultat de Penrose (1963) dans le cas plat [21].