Criteria for well-posedness of degenerate elliptic and parabolic problems

We provide explicit criteria for uniqueness or nonuniqueness of solutions to a wide class of second order elliptic and parabolic problems. The operator coefficients may be unbounded or vanish, or not to have a limit when approaching some part of the boundary, referred to as singular boundary. We discuss whether boundary conditions should be imposed on such a part to ensure well-posedness. The answer depends on the dimension of the singular boundary, and possibly on the behavior of coefficients near it.

RésuméOn donne des critères pour l'unicité ou la non unicité pour une importante classe de problèmes elliptiques et paraboliques du deuxième ordre. Les coefficients de l'opérateur différentiel peuvent être non bornés ou s'annuler, ou même ne pas avoir de limite lorsqu'on approche une partie de la frontière, désignée sous le nom de frontière singulière. La question se pose de savoir, si des conditions au bord doivent être imposées sur cette partie pour assurer que le problème soit bien posé. La réponse dépend autant de la dimension de la frontière singulière que du comportement des coefficients de l'opérateur au voisinage de cette frontière.