Long time approximations for solutions of wave equations via standing waves from quasimodes

A quasimode for a positive, symmetric and compact operator on a Hilbert space could be defined as a pair (u,λ), where u is a function approaching a certain linear combination of eigenfunctions associated with the eigenvalues of the operator in a “small interval” [λ−r,λ+r]. Its value in describing asymptotics for low and high frequency vibrations in certain singularly perturbed spectral problems, which depend on a small parameter ε, has been made clear recently in many papers. In this paper, considering second order evolution problems, we provide estimates for the time t in which standing waves of the type approach their solutions u(t) when the initial data deal with quasimodes of the associated operators. We establish a general abstract framework and we extended it to the case where operators and spaces depend on the small parameter ε: now λ and u can depend on ε and also perform the estimates for t. We apply the results to vibrating systems with concentrated masses.

RésuméOn peut définir un « quasimode » pour un opérateur positif, symétrique, compact sur un espace de Hilbert comme un couple (u,λ), où u est une fonction approchant une certaine combinaison linéaire de fonctions propres associées à des valeurs propres de l'opérateur appartenant à un « petit intervalle » [λ−r,λ+r]. Récemment dans plusieurs articles on a mis en évidence l'intérêt des quasimodes pour décrire le comportement asymptotique des vibrations de basses et de hautes fréquences dans certains problèmes spectraux, singulièrement perturbés, dépendant d'un petit paramètre ε qui tend vers 0. Dans cet article on considère des problèmes d'évolution du deuxième ordre ; on obtient des estimations précises pour le temps t pendant lequel les ondes stationnaires du type donnent des approximations des solutions u(t) de problèmes d'évolution quand les données initiales sont liées aux quasimodes des opérateurs associés. On établit un cadre abstrait très général que l'on étend au cas où les opérateurs et les espaces dépendent du petit paramètre ε : ici λ et u peuvent dépendre de ε ainsi que les estimations en t. On applique les résultats à des systèmes vibrant avec des masses concentrées.