Interpolation of Gibbs measures with white noise for Hamiltonian PDE

We consider the family of interpolation measures of Gibbs measures and white noise given bydQ0,β(p)=Zβ−11{∫Tu2⩽Kβ−1/2}e−12∫Tu2+β∫TupdP0,β, where P0,βP0,β is the Wiener measure on the circle, with variance β−1β−1, conditioned to have mean zero. It is shown that as β→0β→0, Q0β converges weakly to mean zero Gaussian white noise Q0Q0. As an application, we present a straightforward proof that Q0Q0 is invariant for the Korteweg–de Vries equation (KdV). This weak convergence also shows that the white noise is a weak limit of invariant measures for the modified KdV and the cubic nonlinear Schrödinger equations.

RésuméOn considére la famille de mesures dʼinterpolation des mesures de Gibbs et bruit-blanc donnée pardQ0,β(p)=Zβ−11{∫Tu2⩽Kβ−1/2}e−12∫Tu2+β∫TupdP0,β, où P0,βP0,β est la mesure de Wiener sur le cercle, avec une variance β−1β−1, conditionnée pour être de moyenne nulle. On montre que lorsque β→0β→0, Q0β converge faiblement vers un bruit-blanc gaussien Q0Q0 de moyenne nulle. En application, on donne une démonstration simple de lʼinvariance de Q0Q0 pour lʼéquation Korteweg–de Vries (KdV). Cette convergence faible montre aussi que le bruit-blanc est une limite faible de mesures invariantes pour les équations KdV modifiées et Schrödinger non-linéaires cubiques.