Global wellposed problem for the 3-D incompressible anisotropic Navier–Stokes equations

In this paper, we consider a global wellposed problem for the 3-D incompressible anisotropic Navier–Stokes equations (ANS). In order to do so, we first introduce the scaling invariant Besov–Sobolev type spaces, and , p⩾2. Then, we prove the global wellposedness for (ANS) provided the initial data are sufficient small compared to the horizontal viscosity in some suitable sense, which is stronger than norm. In particular, our results imply the global wellposedness of (ANS) with high oscillatory initial data.

RésuméDans cet article, nous étudions le problème de Cauchy global pour l'équation de Navier–Stokes incompressible anisotrope en dimension 3. Nous construisons d'abord des familles d'espaces de Besov–Sobolev invariants par changement d'échelle et , p⩾2. Puis, nous démontrons que le système (ANS) est bien posé globalement en temps si la donnée initiale est petite par rapport à la viscosité horizontale dans un sens convenable, qui est plus fort que la petitesse de la norme dans . En particulier, nos résultats impliquent que le système (ANS) est bien posé globalement en temps lorsque la donnée initiale est très oscillante.