On the local solvability of elliptic equations on compact manifolds

The local image of a nonlinear elliptic operator on a compact manifold is a submanifold described by a full set of independent equations if and only if the corank of the linearized operator is constant. When not so, we exhibit a higher order infinitesimal invariant, the epidimension, which forces the number of independent equations decrease. We show that the epidimension of a natural operator with enough symmetry must either vanish or be maximal, in which case the local image admits no equation. In general, we show that a local nonlinear version of Fredholm's scheme, which always exists, encodes the maximal number of independent equations. Finally, we take a glimpse at the underdetermined elliptic case and state a conjecture for it.

RésuméL'image locale d'un opérateur elliptique non linéaire sur une variété compacte est une sous-variété décrite par un ensemble complet d'équations indépendantes si et seulement si le corang de l'opérateur linéarisé est constant. Quand ce n'est pas le cas, on exhibe un invariant infinitésimal d'ordre supérieur, l'épidimension, qui force le nombre d'équations indépendantes à décroitre. On montre que l'épidimension d'un opérateur naturel avec assez de symétrie doit, ou bien s'annuler, ou être maximale, auquel cas l'image locale n'admet aucune équation. En général, on montre qu'une version non linéaire locale du schéma de Fredholm, qui existe toujours, fournit le nombre maximal d'équations indépendantes. Enfin, on décrit brièvement le cas sous-déterminé elliptique, pour lequel une conjecture est énoncée.