Natural closures, natural compositions and natural sums of monotone operators

We introduce new methods for defining generalized sums of monotone operators and generalized compositions of monotone operators with linear maps. Under asymptotic conditions we show these operations coincide with the usual ones. When the monotone operators are subdifferentials of convex functions, a similar conclusion holds. We compare these generalized operations with previous constructions by Attouch–Baillon–Théra, Revalski–Théra and Pennanen–Revalski–Théra. The constructions we present are motivated by fuzzy calculus rules in nonsmooth analysis. We also introduce a convergence and a closure operation for operators which may be of independent interest.

RésuméPar des méthodes nouvelles, nous introduisons des sommes généralisées d'opérateurs monotones et des compositions généralisées d'un opérateur monotone et d'une application linéaire. Sous des conditions asymptotiques, nous montrons que ces opérations coïncident avec les opérations usuelles. Quand les opérateurs monotones sont les sous-différentiels de fonctions convexes, une conclusion semblable a lieu. Nous comparons ces opérations généralisées avec des constructions dues à Attouch–Baillon–Théra, Revalski–Théra et Pennanen–Revalski–Théra. Les constructions que nous présentons sont motivées par les règles de calcul flou de l'analyse non-lisse. Nous introduisons aussi une convergence et une fermeture pour les opérateurs qui peuvent avoir un intérêt propre.