On the large time behavior of solutions of the Dirichlet problem for subquadratic viscous Hamilton–Jacobi equations

In this article, we are interested in the large time behavior of solutions of the Dirichlet problem for subquadratic viscous Hamilton–Jacobi equations. In the superquadratic case, the third author has proved that these solutions can have only two different behaviors: either the solution of the evolution equation converges to the solution of the associated stationary generalized Dirichlet problem (provided that it exists) or it behaves like −ct+φ(x) where c⩾0 is a constant, often called the “ergodic constant” and φ is a solution of the so-called “ergodic problem”. In the present subquadratic case, we show that the situation is slightly more complicated: if the gradient-growth in the equation is like m|Du| with m>3/2, then analogous results hold as in the superquadratic case, at least if c>0. But, on the contrary, if m⩽3/2 or c=0, then another different behavior appears since u(x,t)+ct can be unbounded from below where u is the solution of the subquadratic viscous Hamilton–Jacobi equation.

RésuméDans cet article, nous nous intéressons au comportement en temps grands des solutions du problème de Dirichlet pour des équations de type Hamilton–Jacobi visqueuses dans le cas sous-quadratique. Dans le cas sur-quadratique, le troisième auteur a prouvé que ces solutions ne peuvent avoir que deux comportements : ou bien la solution du problème d'évolution converge vers la solution du problème stationnaire associé (à condition qu'elle existe) ou bien elle se comporte comme −ct+φ(x) où c⩾0 est une constante, souvent appelée “constante ergodique” et φ est la solution du “problème ergodique”. Dans le cas sous-quadratique, nous montrons que la situation est plus complexe : si le terme en gradient dans l'équation croît comme m|Du| avec m>3/2, alors le comportement est analogue au cas sur-quadratique, au moins si on a c>0. Au contraire, si m⩽3/2 ou si c=0, alors un autre comportement apparait car, si u est la solution de l'équation Hamilton–Jacobi visqueuse, u(x,t)+ct peut être non minoré.