Local controllability of 1D linear and nonlinear Schrödinger equations with bilinear control

We consider a linear Schrödinger equation, on a bounded interval, with bilinear control, that represents a quantum particle in an electric field (the control). We prove the exact controllability of this system, in any positive time, locally around the ground state.Similar results were proved for particular models (Beauchard, 2005, 2008, 2006) [14,15,17], in non-optimal spaces, in long time and the proof relied on the Nash–Moser implicit function theorem in order to deal with an a priori loss of regularity.In this article, the model is more general, the spaces are optimal, there is no restriction on the time and the proof relies on the classical inverse mapping theorem. A hidden regularizing effect is emphasized, showing there is actually no loss of regularity.Then, the same strategy is applied to nonlinear Schrödinger equations and nonlinear wave equations, showing that the method works for a wide range of bilinear control systems.

RésuméOn considère une équation de Schrödinger linéaire, sur un intervalle borné, avec contrôle bilinéaire, représentant une particule quantique dans un champ électrique (le contrôle). On démontre la contrôlabilité exacte locale de ce système, en tout temps positif, localement au voisinage de l'état fondamental.Des résultats similaires ont déjá été établis (Beauchard, 2005, 2008, 2006) [14,15,17], mais dans des espaces non optimaux, en temps long et leur démonstration reposait sur le théorème de Nash–Moser, pour gérer une apparente perte de régularité.Dans cet article, le modèle étudié est plus général, les espaces sont optimaux, il n'y a pas de restriction sur le temps et la démonstration repose sur le théorème d'inversion locale classique. Un effet régularisant est exhibé, montrant qu'il n'y a finalement pas de perte de régularité.La même stratégie est ensuite utilisée sur des équations de Schrödinger non linéaires et des équations des ondes non linéaires, montrant qu'elle s'applique de façon assez générale aux systèmes de contrôle bilinéaires.