The Dirichlet problem for steady viscous compressible flow in three dimensions

We consider the Navier–Stokes equations for compressible isentropic flow in the steady three-dimensional case and show the existence of a weak solution for homogeneous Dirichlet (no-slip) boundary conditions under the assumption that the adiabatic exponent satisfies . In particular we cover with our existence result the cases of a monoatomic gas () and of air (). To our knowledge it is the first result that really deals in 3-D with the existence of a weak solution in these physically relevant cases with arbitrary large external data and these boundary conditions. As an essential tool we demonstrate and use a weighted estimate respective an estimate in a Morrey-space for the pressure and resulting from this an L∞-estimate for the inverse Laplacian of the pressure.

RésuméNous considérons des équations de Navier–Stokes pour des écoulements compressibles isentropiques en trois dimensions dʼespace et prouvons lʼexistence de solutions faibles pour des conditions aux limites de Dirichlet homogènes (no-slip boundary condition) sous lʼhypothèse que lʼexposent adiabatique satisfait . Nos résultats dʼexistence couvrent en particulier les cas des gaz monoatomique () et de lʼair (). A notre connaissance, cʼest le tout premier résultat en trois dimensions dʼespace qui établit lʼexistence de solution faibles dans cet important cas physique, sans restrictions sur les données extérieures et avec les conditions aux limites sus-mentionées. Comme outils principaux, nous démontrons et utilisons une estimation à poids pour la pression, précisément dans lʼespace de Morrey, qui induit une estimation L∞ de lʼinverse du Laplacien de la pression.