Smoothness of extremizers of a convolution inequality

Let d⩾2 and T be the convolution operator , which is bounded from L(d+1)/d(Rd) to Ld+1(Rd). We show that any critical point f∈L(d+1)/d of the functional ‖Tf‖d+1/‖f‖(d+1)/d is infinitely differentiable, and that δ|x|f∈L(d+1)/d for some δ>0. In particular, this holds for all extremizers of the associated inequality. This is done by exploiting a generalized Euler–Lagrange equation, and certain weighted norm inequalities for T.

RésuméSupposons que d soit supérieur à 2 et que T soit lʼopérateur de convolution , borné de L(d+1)/d(Rd) à Ld+1(Rd). On montre quʼen tout point critique f∈L(d+1)/d la fonctionnelle ‖Tf‖d+1/‖f‖(d+1)/d est infiniment différentiable, et que δ|x|f∈L(d+1)/d pour un certain δ>0. En particulier, le résultat est vrai pour tous les optimiseurs de lʼinégalité associée. Cela sʼobtient en exploitant lʼéquation généralisée de Euler–Lagrange et certaines inégalités de normes à poids pour T.