Geometric and differentiable rigidity of submanifolds in spheres

In this paper, we investigate rigidity of geometric and differentiable structures of complete submanifolds via an extrinsic geometrical quantity τ(x) defined by the second fundamental form. We verify a geometric rigidity theorem for complete submanifolds with parallel mean curvature in a unit sphere Sn+p. Inspired by the rigidity theorem, we prove a differentiable sphere theorem for complete submanifolds in Sn+p. Moreover, we obtain a differentiable pinching theorem for complete submanifolds in a -pinched Riemannian manifold.

RésuméDans cet article, on étudie la rigidité de structures géométriques et différentiable de sous-variétés complètes via une quantité géométrique extrinsèque τ(x) définie par sa deuxième forme fondamentale. On démonte un théorème de rigidité géométrique pour les sous-variétés complètes à courbure moyenne parallèle dans une sphère unité Sn+p. Inspiré par le théorème de rigidité, on établit un théorème de sphère différentiable pour les sous-variétés complètes dans Sn+p. On obtient aussi un théorème de pincement différentiable pour les sous-variétés complètes dans une variété riemannienne -pincée.