Inverse spectral problems on a closed manifold

In this paper we consider two inverse problems on a closed connected Riemannian manifold (M,g). To formulate the first one, assume that M is divided by a hypersurface Σ into two components and we know the eigenvalues λj of the Laplace operator on (M,g) and also the Cauchy data, on Σ, of the corresponding eigenfunctions ϕj, i.e. ϕj|Σ,∂νϕj|Σ, where ν is the normal to Σ. We prove that these data determine (M,g) uniquely, i.e. up to an isometry. In the second problem we are given much less data, namely, λj and ϕj|Σ only. However, if Σ consists of at least two components, Σ1, Σ2, we are still able to determine (M,g) assuming some generic conditions on the spectra of the Laplacian in subdomains of M obtained by cutting along Σ.

RésuméDans cet article, nous considérons deux problèmes inverses sur une variété Riemannienne (M,g) connexe, compacte et sans bord. Dans le premier, soit M divisée en deux composantes par une hypersurface Σ. On suppose qu'on connaît les valeurs propres λj de l'opérateur de Laplace sur (M,g) ainsi que les données de Cauchy, sur Σ, de fonctions propres correspondantes ϕj, i.e. ϕj|Σ,∂νϕj|Σ où ν est le champ normal de Σ. Nous démontrons que ces données déterminent (M,g) de manière unique, i.e. à une isométrie près. Dans le deuxième problème nous avons moins d'information : seuls λj et ϕj|Σ sont connus. Cependant, si Σ a au moins deux composantes Σ1, Σ2, nous pouvons encore déterminer (M,g) en supposant que certaines conditions génériques portant sur le spectre du laplacien sont satisfaites sur les sous-variétés de M qui sont obtenues en coupant M suivant Σ.