Phi-entropy inequalities for diffusion semigroups

We obtain and study new Φ-entropy inequalities for diffusion semigroups, with Poincaré or logarithmic Sobolev inequalities as particular cases. From this study we derive the asymptotic behaviour of a large class of linear Fokker–Planck type equations under simple conditions, widely extending previous results. Nonlinear diffusion equations are also studied by means of these inequalities. The Γ2 criterion of D. Bakry and M. Emery appears as a main tool in the analysis, in local or integral forms.

RésuméNous obtenons et étudions une nouvelle famille d'inégalités Φ-entropiques pour des semigroupes de diffusion, incluant les inégalités de Poincaré et de Sobolev logarithmiques. Nous en déduisons le comportement en temps grand des solutions d'une grande classe d'équations linéaires de type Fokker–Planck, sous de simples conditions. Nous étudions également certaines équations de diffusion nonlinéaires à l'aide de ces inégalités. Cette étude utilise de manière cruciale le critère Γ2 de D. Bakry et M. Emery, sous des formes locales et intégrales.