Estimates on the modulus of expansion for vector fields solving nonlinear equations

In this article, by extending the method of Andrews and Clutterbuck (2011) [2], we prove a sharp estimate on the expansion modulus of the gradient of the logarithm of the parabolic kernel to the Schrödinger operator with convex potential on a bounded convex domain. The result improves an earlier work of Brascamp–Lieb which asserts the log-concavity of the parabolic kernel. We also give an alternate proof to a corresponding estimate on the first eigenfunction of the Schrödinger operator, obtained firstly by Andrews and Clutterbuck via the study of the asymptotics to a parabolic problem. Our proof is more direct via an elliptic maximum principle. An alternate proof of the fundamental gap theorem of Andrews and Clutterbuck (2011) [2], by considering the quotient of moduli of continuity, is also obtained. Moreover we derive a Neumann eigenvalue comparison result and some other lower estimates on the first Neumann eigenvalue for Laplace operator with a drifting term, including an explicit estimate on a conjecture of P. Li.

RésuméDans cet article, en étendant la méthode de Andrews et Clutterbuck (2011) [2], on obtient une inégalité fine sur le module dʼexpansion du gradient du logarithme du noyau parabolique de lʼopérateur de Schrödinger avec potentiel convexe sur un domaine borné et convexe. Ceci améliore le résultat de Brascamp–Lieb qui établit la log-concavité du noyau parabolique. On donne également une démonstration différente de lʼinégalité sur la première function propre de lʼopérateur de Schrödinger avec potentiel convexe obtenue par Andrews and Clutterbuck via lʼétude de lʼasymptote parabolique. Notre demonstration, utilisant un principe de maximum elliptique, est plus directe. On donne aussi une autre démonstration du théorème de lʼécart fondamental de Andrews et Clutterbuck (2011) [2], en considérant le quotient du module de contuinité. De plus, on dédiut un résultat de comparaison de valeurs propres de Neumann, et dʼautres inégalités sur la première valeur propre de Neumann du laplacien avec dérive, ce qui inclut une inégalité explicite dʼune une conjecture de P. Li.