Relaxation limit in Besov spaces for compressible Euler equations

The relaxation limit in critical Besov spaces for compressible Euler equations is justified. As the first step of this justification, the uniform (global) classical solutions to the Cauchy problem with initial data close to the constant equilibrium state are constructed in the Chemin–Lernerʼs spaces with critical regularity. Furthermore, it is shown that the density converges towards the solution to the porous medium equation, as the relaxation time tends to zero. To achieve them, a new estimate of commutator is developed.

RésuméOn justifie la limite de relaxation dans des espaces de Besov critiques des solutions des équations dʼEuler compressibles. Dans une première étape on construit la solution classique uniformément globale du problème de Cauchy pour une donnée initiale voisine de lʼétat dʼéquilibre stationnaire dans les espaces de Chemin–Lerner, pour la régularité critique. Puis, lorsque le temps de relaxation tend vers zéro, on démontre que la densité converge vers la solution de lʼéquation des milieux poreux, ce qui sʼétablit à partir dʼune nouvelle estimation du commutateur.