Stochastic homogenization of Hamilton–Jacobi and degenerate Bellman equations in unbounded environments

We consider the homogenization of Hamilton–Jacobi equations and degenerate Bellman equations in stationary, ergodic, unbounded environments. We prove that, as the microscopic scale tends to zero, the equation averages to a deterministic Hamilton–Jacobi equation and study some properties of the effective Hamiltonian. We discover a connection between the effective Hamiltonian and an eikonal-type equation in exterior domains. In particular, we obtain a new formula for the effective Hamiltonian. To prove the results we introduce a new strategy to obtain almost sure homogenization, completing a program proposed by Lions and Souganidis that previously yielded homogenization in probability. The class of problems we study is strongly motivated by Sznitmanʼs study of the quenched large deviations of Brownian motion interacting with a Poissonian potential, but applies to a general class of problems which are not amenable to probabilistic tools.

RésuméOn considère la question de lʼhomogénéisation des équations de Hamilton–Jacobi et équations de Bellman dégénérées dans un environnement stationnaire, ergodique et non borné. On démontre que, lorsque lʼéchelle microscopique tend vers zéro, lʼéquation sʼhomogénéise en une équation de Hamilton–Jacobi déterministe, on étudie certaines propriétés de lʼHamiltonien effectif. On établit une relation entre lʼHamiltonien effectif et une équation de type eikonal dans un domaine extérieur. En particulier, on obtient une nouvelle formule pour le hamiltonien effectif. Pour démontrer ces résultats, on introduit une nouvelle stratégie pour obtenir de lʼhomogénéisation presque sure, complétant ainsi un programme proposé par Lions et Souganidis qui fournissait des résultats dʼhomogénéisation en probabilité. La classe de problèmes quʼon étudie est fortement motivée par lʼétude de Sznitman des grandes déviations avec extinction pour le mouvement Brownien interagissant avec un potentiel de Poisson, mais sʼapplique à une classe générale de problèmes qui ne se prêtent pas à lʼutilisation dʼoutils probabilistes.