Finite energy solutions to the isentropic Euler equations with geometric effects

Considering the isentropic Euler equations of compressible fluid dynamics with geometric effects included, we establish the existence of entropy solutions for a large class of initial data. We cover fluid flows in a nozzle or in spherical symmetry when the origin r=0 is included. These partial differential equations are hyperbolic, but fail to be strictly hyperbolic when the fluid mass density vanishes and vacuum is reached. Furthermore, when geometric effects are taken into account, the sup-norm of solutions can not be controlled since there exist no invariant regions. To overcome these difficulties and to establish an existence theory for solutions with arbitrarily large amplitude, we search for solutions with finite mass and total energy. Our strategy of proof takes advantage of the particular structure of the Euler equations, and leads to a versatile framework covering general compressible fluid problems. We establish first higher-integrability estimates for the mass density and the total energy. Next, we use arguments from the theory of compensated compactness and Young measures, extended here to sequences of solutions with finite mass and total energy. The third ingredient of the proof is a characterization of the unbounded support of entropy admissible Young measures. This requires the study of singular products involving measures and principal values.

RésuméNous considérons les équations d'Euler isentropiques de la dynamique des fluides en incluant des termes de nature géométrique, et nous établissons un résultat d'existence de solutions entropiques pour une grande classe de données initiales. Nous couvrons le cas des fluides dans une tuyère, ainsi que des fluides à symmétrie sphérique en incluant l'origine r=0. Ces équations aux dérivées partielles sont hyperboliques mais ne sont pas strictement hyperboliques lorsque la densité du fluide s'annule. Par ailleurs, lorsque des termes géométriques sont pris en compte, la technique des domaines invariants ne s'applique plus et l'amplitude des solutions n'est pas en général contrôlée uniformément. Pour surmonter ces difficultés et développer notre théorie d'existence de solutions d'amplitude arbitraire, nous proposons de rechercher des solutions de masse et d'énergie finies. Notre stratégie de démonstration s'appuie sur la structure particulière des équations d'Euler, et nous conduit à un cadre mathématique couvrant une large classe de problèmes de la dynamique des fluides. Nous établissons tout d'abord, pour la masse et l'énergie totale, une estimée d'intégrabilité uniforme des solutions. Nous utilisons ensuite des arguments de la théorie de compacité par compensation et de la théorie des mesures de Young, que nous généralisons à des suites de solutions de masse et d'énergie finies. Le troisième ingrédient de notre méthode est une caractérisation du support (non-borné en général) d'une classe de mesures d'Young, pour laquelle nous devons étudier des produits singuliers de mesures et de parties principales.