A new dual approach for a class of phase transitions with memory: existence and long-time behaviour of solutions

In this paper we describe a class of phase transitions with thermal memory using a dual approach with respect to the energy functionals. More precisely, we use as state variables the phase parameter, the entropy (in place of the absolute temperature), and the history contribution of the entropy flux. The equations are recovered from a generalization of the principle of virtual power (to describe the evolution of the phases), including the effects of micro-motions responsible for the phase transition, and a rescalation of the internal energy balance (to describe the evolution of the entropy). We discuss thermodynamical consistency in terms of the properties of the involved energy functionals: the internal energy (in place of the free energy) and the pseudo-potential of dissipation. Hence, we prove existence of a solution (in a proper functional framework) for the resulting nonlinear integrodifferential PDE system. Finally, we discuss the long-time behaviour of solutions holding on (0,+∞) characterizing the ω-limit of trajectories.

RésuméDes changements de phase avec mémoire thermique sont étudiés en utilisant l'entropie, variable duale de la température en mécanique des milieux continus, ainsi que l'histoire du flux d'entropie. Les équations sont la conservation de l'entropie, équivalente à la conservation de l'énergie, et une équation du mouvement obtenue avec le principe des puissances virtuelles prenant en compte les mouvements microscopiques qui apparaissent lors des changements de phase. On étudie la thermodynamique du système avec l'énergie interne, fonction duale de l'énergie libre, et du pseudo-potentiel de dissipation. Nous démontrons l'existence de solutions dans un cadre fonctionnel convenable pour le système intégro-différentiel et non linéaire d'équations aux dérives partielles. Nous étudions enfin le comportement à long terme des solutions dont on caractérise l'ensemble ω-limite.