Decay estimates for nonlocal problems via energy methods

In this paper we study the applicability of energy methods to obtain bounds for the asymptotic decay of solutions to nonlocal diffusion problems. With these energy methods we can deal with nonlocal problems that not necessarily involve a convolution, that is, of the form ut(x,t)=∫RdG(x−y)(u(y,t)−u(x,t))dy. For example, we will consider equations like,ut(x,t)=∫RdJ(x,y)(u(y,t)−u(x,t))dy+f(u)(x,t), and a nonlocal analogous to the p-Laplacian,ut(x,t)=∫RdJ(x,y)|u(y,t)−u(x,t)|p−2(u(y,t)−u(x,t))dy. The energy method developed here allows us to obtain decay rates of the form,‖u(⋅,t)‖Lq(Rd)⩽Ct−α,‖u(⋅,t)‖Lq(Rd)⩽Ct−α, for some explicit exponent α that depends on the parameters, d, q and p, according to the problem under consideration.

RésuméDans cet article, nous étudions les applications des méthodes d'énergie à l'obtention de bornes pour la décroissance asymptotique des solutions de problèmes diffusifs non locaux. Avec ces méthodes d'énergie, nous pouvons considérer des problèmes non locaux qui ne sont pas nécessairement des convolutions, i.e. de la forme ut(x,t)=∫RdG(x−y)(u(y,t)−u(x,t))dy. Par exemple, nous pouvons traiter le cas des équations,ut(x,t)=∫RdJ(x,y)(u(y,t)−u(x,t))dy+f(u)(x,t), et de l'analogue non local du p-Laplacien,ut(x,t)=∫RdJ(x,y)|u(y,t)−u(x,t)|p−2(u(y,t)−u(x,t))dy. Les méthodes d'énergie développées ici nous permettent d'obtenir des taux de décroissance de la forme,‖u(⋅,t)‖Lq(Rd)⩽Ct−α,‖u(⋅,t)‖Lq(Rd)⩽Ct−α, pour des exposants explicites α qui dépendent des paramètres d, q et p, selon le problème considéré.