Contraction of general transportation costs along solutions to Fokker–Planck equations with monotone drifts

We shall prove new contraction properties of general transportation costs along nonnegative measure-valued solutions to Fokker–Planck equations in Rd, when the drift is a monotone (or λ-monotone) operator. A new duality approach to contraction estimates has been developed: it relies on the Kantorovich dual formulation of optimal transportation problems and on a variable-doubling technique. The latter is used to derive a new comparison property of solutions of the backward Kolmogorov (or dual) equation. The advantage of this technique is twofold: it directly applies to distributional solutions without requiring stronger regularity, and it extends the Wasserstein theory of Fokker–Planck equations with gradient drift terms, started by Jordan, Kinderlehrer and Otto (1998) [14], to more general costs and monotone drifts, without requiring the drift to be a gradient and without assuming any growth conditions.

RésuméOn démontre de nouvelles propriétés de contraction des coûts du transport global en suivant des solutions de type mesures positives de l'équation de Fokker–Planck où la déviation est un opératateur monotone ou λ-monotone. Une nouvelle approche duale a été développée pour les estimations de contraction : elle s'appuie sur la formulation duale de Kantorovitch des problèmes de transport optimal et sur une technique de doublement des variables. Cette dernière est utilisée pour obtenir une nouvelle propriété de comparaison de solutions de l'équation de Kolmogorov rétrograde (ou de son équation duale). Les avantages de cette technique sont de deux types : d'une part, elle s'applique directement aux solutions au sens des distributions sans demander plus de réguralité, d'autre part, elle généralise la théorie de Wasserstein des équations de Fokker–Planck avec une déviation de type gradient, introduite par Jordan, Kinderlehrer et Otto (1998) [14], à des coûts plus généraux et à des déviations monotones, sans demander que les déviations soient des gradients et sans condition de croissance.