Fractional Poincaré inequalities for general measures

We prove a fractional version of Poincaré inequalities in the context of Rn endowed with a fairly general measure. Namely we prove a control of an L2 norm by a non-local quantity, which plays the role of the gradient in the standard Poincaré inequality. The assumption on the measure is the fact that it satisfies the classical Poincaré inequality, so that our result is an improvement of the latter inequality. Moreover we also quantify the tightness at infinity provided by the control on the fractional derivative in terms of a weight growing at infinity. The proof goes through the introduction of the generator of the Ornstein–Uhlenbeck semigroup and some careful estimates of its powers. To our knowledge this is the first proof of fractional Poincaré inequality for measures more general than Lévy measures.

RésuméOn montre une version fractionnaire des inégalités de Poincaré dans Rn muni d'une mesure assez générale. Plus précisément, on dèmontre le contrôle d'une norme L2 par une quantité non locale, qui joue le rôle du gradient dans l'inégalité de Poincaré standard. L'hypothèse sur la mesure est qu'elle vérifie l'inégalité de Poincaré classique, de sorte que notre résultat améliore cette inégalité. De plus, on quantifie la tension à l'infini donnée par le contrôle par les dérivées fractionnaires à l'aide d'un poids dont on connaît la croissance à l'infini. La démonstration utilise le générateur d'un semi-groupe d'Ornstein–Uhlenbeck et des estimations précises de ses puissances. Il s'agit, à notre connaissance, de la première démonstration d'une inégalité de Poincaré fractionnaire pour des mesures plus générales que les mesures de Lévy.