Plate theory for stressed heterogeneous multilayers of finite bending energy

We derive a plate theory for (possibly slightly stressed) heterogeneous multilayers in the regime of finite bending energies from three-dimensional elasticity theory by means of Γ-convergence. This extends results in [G. Friesecke, R.D. James, S. Müller, A theorem on geometric rigidity and the derivation of nonlinear plate theory from three-dimensional elasticity, Comm. Pure Appl. Math. 55 (2002) 1461–1506; B. Schmidt, Minimal energy configurations of strained multi-layers, Calc. Var. Partial Differential Equations (2007), doi:10.1007/s00526-007-0099-4] to non-homogeneous materials. As expected from the homogeneous case we obtain a limiting energy functional depending on the second fundamental form of the plate surface. The effective elastic constants of the heterogeneous films will turn out to depend on the moments of the pointwise elastic constants of the materials.

RésuméNous établissons la théorie des plaques pour des plaques hétérogènes a plusieures couches (éventuellement légèrement tendues) dans le régime à énergie de courbure finie en théorie tridimensionnelle de l'élasticité au moyen de la Γ-convergence. Les résultats de [G. Friesecke, R.D. James, S. Müller, A theorem on geometric rigidity and the derivation of nonlinear plate theory from three-dimensional elasticity, Comm. Pure Appl. Math. 55 (2002) 1461–1506 ; B. Schmidt, Minimal energy configurations of strained multi-layers, Calc. Var. Partial Differential Equations (2007), doi:10.1007/s00526-007-0099-4] sont étendus aux matériaux non-homogènes. Comme dans le cas homogène, en passant à la limite nous obtenons une function énergie qui dépend de la deuxième forme fondamentale de la surface de la plaque. Les constantes élastiques effectives des films hétérogènes dépendent des moments des constantes élastiques des matériaux.