The Klein–Gordon equation in the Anti-de Sitter cosmology

This paper deals with the Klein–Gordon equation on the Poincaré chart of the 5-dimensional Anti-de Sitter universe. When the mass μ is larger than , the Cauchy problem is well-posed despite the loss of global hyperbolicity due to the time-like horizon. We express the finite energy solutions in the form of a continuous Kaluza–Klein tower and we deduce a uniform decay as . We investigate the case , ν∈N⁎, which encompasses the gravitational fluctuations, ν=4, and the electromagnetic waves, ν=2. The propagation of the wave front set shows that the horizon acts like a perfect mirror. We establish that the smooth solutions decay as , and we get global Lp estimates of Strichartz type. When ν is even, there appears a lacuna and the equipartition of the energy occurs at finite time for the compactly supported initial data, although the Huygens principle fails. We address the cosmological model of the negative-tension Minkowski brane, on which a Robin boundary condition is imposed. We prove the hyperbolic mixed problem is well-posed and the normalizable solutions can be expanded into a discrete Kaluza–Klein tower. We establish some L2−L∞ estimates in suitable weighted Sobolev spaces.

RésuméCet article traite de lʼéquation de Klein–Gordon sur la carte de Poincaré de lʼunivers anti-de Sitter pentadimensionnel. Quand la masse μ est supérieure à , le problème de Cauchy est bien posé en dépit de la perte dʼhyperbolicité globale due à la présence dʼun horizon de genre temps. On exprime les solutions dʼénergie finie sous la forme dʼune tour continue de Kaluza–Klein, et on en déduit la décroissance uniforme en . On considére le cas , ν∈N⁎, qui recouvre les fluctuations gravitationnelles, ν=4, et les ondes électromagnétiques, ν=2. La propagation du front dʼonde montre que lʼhorizon agit comme un miroir parfait. On montre que les solutions régulières décroissent comme , et on obtient des estimations Lp de type Strichartz. Quand ν est pair et que les données initiales sont à support compact, il apparaît une lacune et lʼéquipartition de lʼénergie survient à temps fini, quoique le principe de Huygens ne soit pas vérifié. On étudie le modèle cosmologique de la membrane de Minkowski de tension négative sur laquelle une condition au bord de Robin est imposée. On démontre que le problème mixte hyperbolique est bien posé et que les solutions normalisables sont développables en tours de Kaluza–Klein discrètes. On établit des estimations L2−L∞ dans des espaces de Sobolev à poids convenables.