Rate of convergence to an asymptotic profile for the self-similar fragmentation and growth-fragmentation equations

We study the asymptotic behavior of linear evolution equations of the type ∂tg=Dg+Lg−λg, where L is the fragmentation operator, D is a differential operator, and λ is the largest eigenvalue of the operator Dg+Lg. In the case Dg=−∂xg, this equation is a rescaling of the growth-fragmentation equation, a model for cellular growth; in the case Dg=−∂x(xg), it is known that λ=1 and the equation is the self-similar fragmentation equation, closely related to the self-similar behavior of solutions of the fragmentation equation ∂tf=Lf.By means of entropy–entropy dissipation inequalities, we give general conditions for g to converge exponentially fast to the steady state G of the linear evolution equation, suitably normalized. In other words, the linear operator has a spectral gap in the natural L2 space associated to the steady state. We extend this spectral gap to larger spaces using a recent technique based on a decomposition of the operator in a dissipative part and a regularizing part.

RésuméNous étudions le comportement asymptotique dʼéquations dʼévolution linéaires du type ∂tg=Dg+Lg−λg, oú L est lʼopérateur de fragmentation, D est un opérateur differentiel, et λ est la plus grande valeur propre de lʼopérateur Dg+Lg. Dans le cas Dg=−∂xg, cette équation est obtenue par changement dʼéchelle à partir de lʼéquation de croissance-fragmentation, un modèle pour la croissance cellulaire ; dans le cas Dg=−∂x(xg), il est connu que λ=1 et cela correspond à lʼéquation de fragmentation autosimilaire, étroitement reliée au comportement autosimilaire des solutions de lʼéquation de fragmentation ∂tf=Lf.Au moyen dʼune inégalité dʼentropie–dissipation dʼentropie, nous donnons des conditions générales pour que g tende exponentiellement vite vers lʼétat stationnaire G de lʼéquation dʼévolution linéaire, avec la normalisation appropriée. En dʼautres termes, lʼopérateur linéaire admet un trou spectral dans lʼespace L2 naturel associé à lʼétat stationnaire. Nous étendons ce résultat de trou spectral à un espace plus grand en utilisant une technique utilisant la décomposition de lʼopérateur en une partie dissipative et une partie régularisante.