Strong trajectory attractors for dissipative Euler equations

The 2D Euler equations with periodic boundary conditions and extra linear dissipative term Ru, R>0 are considered and the existence of a strong trajectory attractor in the space is established under the assumption that the external forces have bounded vorticity. This result is obtained by proving that any solution belonging the proper weak trajectory attractor has a bounded vorticity which implies its uniqueness (due to the Yudovich theorem) and allows to verify the validity of the energy equality on the weak attractor. The convergence to the attractor in the strong topology is then proved via the energy method.

RésuméOn considère les équations dʼEuler bi-dimensionnelles avec des conditions aux limites périodiques et un terme dissipatif Ru, R>0, supplémentaire et on montre lʼexistence de lʼattracteur trajectoriel fort dans lʼespace sous lʼhypothèse que les forces extérieures ont un rotationnel borné. Ce résultat est obtenu en démontrant que toute solution appartenant à un attracteur trajectoriel faible convenable a un rotationnel borné, ce qui entraîne son unicité (par le théorème de Yudovich) et permet de vérifier la validité de lʼégalité dʼénergie sur lʼattracteur faible. La convergence vers lʼattracteur dans la topologie forte est alors obtenue par la méthode dʼénergie.