The volume preserving crystalline mean curvature flow of convex sets in RN

We prove the existence of a volume preserving crystalline mean curvature flat flow starting from a compact convex set C⊂RN and its convergence, modulo a time-dependent translation, to a Wulff shape with the corresponding volume. We also prove that if C satisfies an interior ball condition (the ball being the Wulff shape), then the evolving convex set satisfies a similar condition for some time. To prove these results we establish existence, uniqueness and short-time regularity for the crystalline mean curvature flat flow with a bounded forcing term starting from C, showing in this case the convergence of an approximation algorithm due to Almgren, Taylor and Wang. Next we study the evolution of the volume and anisotropic perimeter, needed for the proof of the convergence to the Wulff shape as t→+∞.

RésuméNous montrons l'existence d'une évolution par courbure moyenne cristalline à volume constant à partir d'un ensemble initial C⊂RN convexe et borné, ainsi que sa convergence, modulo une translation dépendant du temps, vers la forme de Wulff de même volume. Nous montrons aussi que si C satisfait une condition de sphère intérieure (ou plus précisément de « forme de Wulff » intérieure), alors l'évolution satisfait une condition similaire au moins pour des temps petits. Nos démonstrations reposent sur un résultat d'existence, unicité et régularité en temps petit pour des mouvements par courbure cristalline d'ensembles convexes, avec un terme de forçage. Ces solutions sont construites comme limites d'un algorithme d'approximation dû à Almgren, Taylor et Wang. La démonstration de convergence vers la forme de Wulff est obtenue en étudiant l'évolution du volume et du périmètre de ces flots au cours du temps.