Local null controllability of the two-dimensional Navier–Stokes system in the torus with a control force having a vanishing component

In this paper we deal with the two-dimensional Navier–Stokes system in a torus. The main result establishes the local null controllability with internal controls having one vanishing component. The linearized control system around 0 is not null controllable: the nonlinear term is essential to get this null controllability. Our proof uses the return method together with previous results by Fursikov and Imanuvilov.

RésuméDans cet article on considère le système de Navier–Stokes dans un tore bidimensionnel. Notre résultat principal établit la contrôlabilité locale à zéro avec des contrôles internes ayant une composante nulle. Le système de contrôle linéarisé autour de 0 n'est pas contrôlable : le terme non linéaire est donc essentiel pour obtenir ce résultat. Notre démonstration utilise la méthode du retour combinée avec des résultats précédents de Fursikov et Imanuvilov.