A nonlocal p-Laplacian evolution equation with Neumann boundary conditions

In this paper we study the nonlocal p-Laplacian type diffusion equation,ut(t,x)=∫ΩJ(x−y)|u(t,y)−u(t,x)|p−2(u(t,y)−u(t,x))dy. If p>1p>1, this is the nonlocal analogous problem to the well-known local p  -Laplacian evolution equation ut=div(|∇u|p−2∇u)ut=div(|∇u|p−2∇u) with homogeneous Neumann boundary conditions. We prove existence and uniqueness of a strong solution, and if the kernel J   is rescaled in an appropriate way, we show that the solutions to the corresponding nonlocal problems converge strongly in L∞(0,T;Lp(Ω))L∞(0,T;Lp(Ω)) to the solution of the p  -Laplacian with homogeneous Neumann boundary conditions. The extreme case p=1p=1, that is, the nonlocal analogous to the total variation flow, is also analyzed. Finally, we study the asymptotic behavior of the solutions as t goes to infinity, showing the convergence to the mean value of the initial condition.

RésuméDans cet article, on étudie l'équation de diffusion non locale de type p-laplacienut(t,x)=∫ΩJ(x−y)|u(t,y)−u(t,x)|p−2(u(t,y)−u(t,x))dy. Si p>1p>1, elle constitue le problème non local associé à l'équation d'évolution avec l'opérateur p  -laplacien local ut=div(|∇u|p−2∇u)ut=div(|∇u|p−2∇u) et avec des conditions aux limites de type Neumann homogène. On montre l'existence et l'unicité de la solution forte, et moyennant un changement d'échelle approprié sur le noyau J  , on montre que la solution du problème non local converge fortement dans L∞(0,T;Lp(Ω))L∞(0,T;Lp(Ω)) vers la solution du problème local avec des conditions aux limites de type Neumann homogène. On analyse aussi le cas limite p=1p=1 qui correspond à l'équation non locale correspondant au problème de calcul de variation totale. Finalement, on étudie le comportement asymptotique de la solution lorsque t→∞t→∞, et on montre que la solution converge vers la moyenne de la donnée initiale.