A rotation method which gives linear Lp estimates for powers of the Ahlfors–Beurling operator

In [O. Dragičević, A. Volberg, Sharp estimate of the Ahlfors–Beurling operator via averaging martingale transforms, Michigan Math. J. 51 (2) (2003) 415–435] the Ahlfors–Beurling operator T was represented as an average of two-dimensional martingale transforms. The same result can be proven for powers Tn. Motivated by [T. Iwaniec, G. Martin, Riesz transforms and related singular integrals, J. Reine Angew. Math. 473 (1996) 25–57], we deduce from here that ‖Tn‖p are bounded from above by Cnp∗, . We further improve this estimate to obtain the optimal behaviour of the Lp norms in question.

RésuméL'opérateur d'Ahlfors–Beurling T admet une représentation comme moyenne de transformations de martingales dans le plan (voir [O. Dragičević, A. Volberg, Sharp estimate of the Ahlfors–Beurling operator via averaging martingale transforms, Michigan Math. J. 51 (2) (2003) 415–435]). Le même résultat peut être démontré pour Tn. On en déduit (motivé par [T. Iwaniec, G. Martin, Riesz transforms and related singular integrals, J. Reine Angew. Math. 473 (1996) 25–57]) que les normes ‖Tn‖p sont bornées par Cnp∗, . On affine ensuite ce résultat pour obtenir la meilleure borne possible pour ces normes.