Global well-posedness of Korteweg–de Vries equation in H−3/4(R)

We prove that the Korteweg–de Vries initial-value problem is globally well-posed in H−3/4(R) and the modified Korteweg–de Vries initial-value problem is globally well-posed in H1/4(R). The new ingredient is that we use directly the contraction principle to prove local well-posedness for KdV equation in H−3/4 by constructing some special resolution spaces in order to avoid some ‘logarithmic divergence’ from the high–high interactions. Our local solution has almost the same properties as those for Hs (s>−3/4) solution which enable us to apply the I-method to extend it to a global solution.

RésuméOn démontre que le problème à donnée initiale pour l'équation de Korteweg–de Vries est globalement bien posé dans H−3/4(R) et que le problème à donnée initiale pour l'équation de Korteweg–de Vries modifiée est globalement bien posé dans H1/4(R). Le nouvel ingrédient est l'utilisation directe du principle de conctraction dans la démonstration du caractère bien posé local l'équation de Korteweg–de Vries dans l'espace H−3/4 pour ce faire on construit des espaces spéciaux de résolution afin éviter certaines « divergences logarithmiques » dans le cas « grandes–grandes » interactions. Notre solution locale a presque les mêmes propriétés que celles que l'on obtient dans Hs (s>−3/4), ce qui permet d'appliquer à cette solution la I-méthode pour l'étendre en une solution globale.