Regular solutions of a problem coupling a compressible fluid and an elastic structure

We are interested in the three-dimensional coupling between a compressible viscous fluid and an elastic structure immersed inside the fluid. They are contained in a fixed bounded set. The fluid motion is modeled by the compressible Navier–Stokes equations and the structure motion is described by the linearized elasticity equation.We establish the local in time existence and the uniqueness of regular solutions for this model. We emphasize that the equations do not contain extra regularizing term. The result is proved by first introducing a linearized problem and by proving that it admits a unique regular solution. The regularity is obtained thanks to successive estimates on the unknowns and their derivatives in time and thanks to elliptic estimates. At last, a fixed-point theorem allows to prove the existence and uniqueness of regular solution of the nonlinear problem.

RésuméNous étudions le couplage entre un fluide visqueux compressible et une structure élastique évoluant à l'intérieur en dimension 3. L'ensemble se trouve dans une cavité fixe bornée. Le fluide est décrit par les équations de Navier–Stokes compressible et la structure est décrite par l'équation d'élasticité linéarisée.Nous démontrons l'existence locale en temps et l'unicité de solutions régulières pour ce modèle. Nous soulignons le fait que les équations ne sont pas régularisées par des termes supplémentaires. Le résultat est démontré en considérant tout d'abord un problème linéarisé pour lequel on démontre l'existence et l'unicité de solutions régulières. La régularité est obtenue grâce à des estimations successives sur les inconnues et leurs dérivées en temps et grâce à des estimations elliptiques. Un argument de point fixe permet ensuite d'avoir l'existence et l'unicité de solution régulière du problème non linéaire.