On the local regularity of the KP-I equation in anisotropic Sobolev space

We prove that the KP-I initial-value problem,{∂tu+∂x3u−∂x−1∂y2u+∂x(u2/2)=0onRx,y2×Rt,u(x,y,0)=ϕ(x,y), is locally well-posed in the space,H1,0(R2)={ϕ∈L2(R2):‖ϕ‖H1,0(R2)≈‖ϕ‖L2+‖∂xϕ‖L2<∞}.H1,0(R2)={ϕ∈L2(R2):‖ϕ‖H1,0(R2)≈‖ϕ‖L2+‖∂xϕ‖L2<∞}.

RésuméOn démontre que le problème de la valeur initiale pour KP-I,{∂tu+∂x3u−∂x−1∂y2u+∂x(u2/2)=0onRx,y2×Rt,u(x,y,0)=ϕ(x,y), est localement bien posé dans l'espace :H1,0(R2)={ϕ∈L2(R2):‖ϕ‖H1,0(R2)≈‖ϕ‖L2+‖∂xϕ‖L2<∞}.H1,0(R2)={ϕ∈L2(R2):‖ϕ‖H1,0(R2)≈‖ϕ‖L2+‖∂xϕ‖L2<∞}.