Real and discrete holomorphy: Introduction to an algebraic approach

We consider spaces for which there is a notion of harmonicity for complex valued functions defined on them. For instance, this is the case of Riemannian manifolds on one hand, and (metric) graphs on the other hand. We observe that it is then possible to define an “amusing” notion of holomorphic functions on them, and show how rigid it is in some cases.

RésuméOn peut parler d'harmonicité des fonctions à valeurs complexes, définies sur des variétés riemanniennes, ou sur des graphes métriques, ainsi que sur d'autres espaces plus généraux. Nous observons ici, que dans tous ces cas, on peut aussi parler d'holomorphie de ces fonctions. Nous analysons le cas classique des variétés riemanniennes, et le cas discret de certains graphes. Nous montrons, en particulier, une rigidité dans le cas discret, ce qui le distingue du cas classique.