Spectral gap and coercivity estimates for linearized Boltzmann collision operators without angular cutoff

In this paper we prove new constructive coercivity estimates for the Boltzmann collision operator without cutoff, that is for long-range interactions. In particular we give a generalized sufficient condition for the existence of a spectral gap which involves both the growth behavior of the collision kernel at large relative velocities and its singular behavior at grazing and frontal collisions. It provides in particular existence of a spectral gap and estimates on it for interactions deriving from the hard potentials ϕ(r)=r−(s−1), s⩾5, or the so-called moderately soft potentials ϕ(r)=r−(s−1), 3

RésuméNous démontrons dans cet article de nouvelles estimations constructives de coercivité pour l'opérateur de collision de Boltzmann sans troncature angulaire, c'est-à-dire pour des interactions à longue portée. En particulier nous donnons une condition suffisante généralisée pour l'existence d'un trou spectral, qui fait intervenir à la fois la croissance du noyau de collision pour les grandes vitesses relatives et l'ordre de la singularité angulaire pour les collisions rasantes et frontales. Cette condition permet en particulier de démontrer l'existence d'un trou spectral et en donne une estimation dans le cas d'interactions dérivant d'un potentiel dur ϕ(r)=r−(s−1), s⩾5, ou d'un potentiel modérément mou ϕ(r)=r−(s−1), 3