A nonlinear Korn inequality on a surface

Let ω be a domain in R2 and let be a smooth immersion. The main purpose of this paper is to establish a “nonlinear Korn inequality on the surface ”, asserting that, under ad hoc assumptions, the H1(ω)-distance between the surface and a deformed surface is “controlled” by the L1(ω)-distance between their fundamental forms. Naturally, the H1(ω)-distance between the two surfaces is only measured up to proper isometries of R3.This inequality implies in particular the following interesting per se sequential continuity property for a sequence of surfaces. Let , k⩾1, be mappings with the following properties: They belong to the space H1(ω); the vector fields normal to the surfaces θk(ω), k⩾1, are well defined a.e. in ω and they also belong to the space H1(ω); the principal radii of curvature of the surfaces θk(ω), k⩾1, stay uniformly away from zero; and finally, the fundamental forms of the surfaces θk(ω) converge in L1(ω) toward the fundamental forms of the surface as k→∞. Then, up to proper isometries of R3, the surfaces θk(ω) converge in H1(ω) toward the surface as k→∞.Such results have potential applications to nonlinear shell theory, the surface being then the middle surface of the reference configuration of a nonlinearly elastic shell.

RésuméSoit ω un domaine de R2 et soit une immersion régulière. L'objet principal de cet article est d'établir une “inégalité de Korn non linéaire sur la surface ”, affirmant que, moyennant des hypothèses convenables, la distance dans H1(ω) entre la surface et une surface déformée est “controlée” par la distance dans L1(ω) entre leurs formes fondamentales. Naturellement, la distance dans H1(ω) entre les deux surfaces est mesurée seulement modulo les isométries propres de R3.Cette inégalité implique en particulier la propriété de continuité séquentielle suivante, intéressante par elle-même. Soit , k⩾1, des applications ayant les propriétés suivantes : Elles appartiennent à l'espace H1(ω) ; les champs de vecteurs normaux aux surfaces θk(ω), k⩾1, sont définis presque partout dans ω et appartiennent aussi à l'espace H1(ω) ; les modules des rayons de courbure principaux des surfaces θk(ω), k⩾1, sont uniformément minorés par une constante strictement positive ; finalement, les formes fondamentales des surfaces θk(ω) convergent dans L1(ω) vers les formes fondamentales de la surface lorsque k→∞. Alors, à des isométries propres de R3 près, les surfaces θk(ω) convergent dans H1(ω) vers la surface lorsque k→∞.Ce type de résultat a des applications potentielles à la théorie non linéaire des coques, la surface étant alors la surface moyenne de la configuration de référence d'une coque non linéairement élastique.