Generalized solutions for the Euler equations in one and two dimensions

In this paper we study generalized solutions (in the Brenier's sense) for the Euler equations. We prove that uniqueness holds in dimension one whenever the pressure field is smooth, while we show that in dimension two uniqueness is far from being true. In the case of the two-dimensional disc we study solutions to Euler equations where particles located at a point x go to −x in a time π, and we give a quite general description of the (large) set of such solutions. As a byproduct, we can construct a new class of classical solutions to Euler equations in the disc.

RésuméCette étude porte sur les solutions généralisées, au sens de Brenier, des équations d'Euler pour les fluides incompressibles. Ondémontre l'unicité en dimension un lorsque la pression est régulière. En dimension deux, on étudie le cas d'un disque dans lequel les particules en x se déplacent en −x après un temps π et l'on donne une description assez générale de l'ensemble des solutions, qui est beaucoup plus étendu que prévu. Ces solutions généralisées permettent en retour de construire une nouvelle classe de solutions classiques des équations d'Euler dans le disque.