Generalized geometrical structures of odd dimensional manifolds

We define an almost-cosymplectic-contact structure which generalizes cosymplectic and contact structures of an odd dimensional manifold. Analogously, we define an almost-coPoisson–Jacobi structure which generalizes a Jacobi structure. Moreover, we study relations between these structures and analyse the associated algebras of functions.As examples of the above structures, we present geometrical dynamical structures of the phase space of a general relativistic particle, regarded as the 1st jet space of motions in a spacetime. We describe geometric conditions by which a metric and a connection of the phase space yield cosymplectic and dual coPoisson structures, in case of a spacetime with absolute time (a Galilei spacetime), or almost-cosymplectic-contact and dual almost-coPoisson–Jacobi structures, in case of a spacetime without absolute time (an Einstein spacetime).

RésuméNous définissons une structure presque cosymplectique-contact, qui généralise les structures cosymplectiques et de contact d'une variété de dimension impaire. D'une manière analogue, nous définissons une structure presque coPoisson–Jacobi, qui généralise la structure de Jacobi. Nous étudions aussi les relations entre ces structures et nous analysons les algèbres des fonctions associées.Comme exemples de ces structures nous présentons les structures géométriques dynamiques de l'espace des phases d'une particule relativiste générale regardé comme jet du premier ordre des mouvements dans l'espace-temps. Nous décrivons les conditions géométriques pour lesquelles une métrique et une connexion de l'espace des phases produisent des structures cosymplectiques et coPoisson duales dans le cas d'un espace-temps (espace-temps de Galilée) ou presque cosymplectique-contact et presque coPoisson duales dans l'espace-temps sans temps absolu (espace-temps d'Einstein).